Solution :
\(x_G = \frac{2×2 + 3×4}{2+3} = \frac{16}{5} = 3.2\)
\(y_G = \frac{2×3 + 3×(-1)}{5} = \frac{3}{5} = 0.6\)
⇒ \(G(3.2, 0.6)\)

Solution :
\(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 2(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + 3(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})\)
\(= 5\overrightarrow{MG} + (2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB}) = 5\overrightarrow{MG} + \vec{0}\)
Car \(2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = \vec{0}\) par définition de G.

Solution :
\(x_G = \frac{1 + 3 + (-1)}{3} = 1\)
\(y_G = \frac{2 + 0 + 4}{3} = 2\)
⇒ \(G(1,2)\) (centre de gravité du triangle)

Solution :
1. I = Bar{(A,1), (B,2)} ⇒ coefficient 1+2=3
2. G = Bar{(I,3), (C,3)}
Preuve : \(\overrightarrow{GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{G} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}\)

Solution :
On résout le système :
\(\frac{α×1 + β×3}{α+β} = 5\) ⇒ \(α + 3β = 5α + 5β\) ⇒ \(4α + 2β = 0\)
\(\frac{α×2 + β×(-1)}{α+β} = -4\) ⇒ \(2α – β = -4α -4β\) ⇒ \(6α + 3β = 0\)
Solution : α = 1, β = -2 (par exemple)
⇒ G = Bar{(A,1), (B,-2)} ⇒ A, B, G alignés

Solution :
G = Bar{(A,200), (B,100)}
\(\frac{AG}{GB} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}\) ⇒ AG = 2 cm et GB = 4 cm
Car AB = AG + GB = 6 cm

Solution :
\(x_G = \frac{2×0 + 3×4 + 5×0}{2+3+5} = \frac{12}{10} = 1.2\)
\(y_G = \frac{2×0 + 3×0 + 5×3}{10} = \frac{15}{10} = 1.5\)
⇒ \(G(1.2, 1.5)\)

Solution :
1. Construire I = Bar{(A,1), (B,2)} (coefficient 3)
2. Construire G = Bar{(I,3), (C,3)}
G est au milieu de [IC] car coefficients égaux

Solution :
\(\frac{α×3 + β×(-1)}{α+β} = 1\) ⇒ \(3α – β = α + β\) ⇒ \(2α = 2β\)
\(\frac{α×0 + β×4}{α+β} = 2\) ⇒ \(4β = 2α + 2β\) ⇒ \(2β = 2α\)
Solution : α = β (par exemple α=1, β=1)
⇒ A est le milieu de [BC]

Solution :
1. I = Bar{(A,1), (B,1)} (coefficient 2) – milieu de [AB]
2. J = Bar{(C,2), (D,2)} (coefficient 4) – milieu de [CD]
3. G = Bar{(I,2), (J,4)} ⇒ \(\overrightarrow{GJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{IJ}\)
G est au 1/3 de [IJ] à partir de J