🔵 Exercices : Angles Inscrits et Angles au Centre3ème Année Collège
Exercice 1 : Angle au centre central ⭐
Dans un cercle de centre O, un angle au centre AOB mesure 80°. Calculer la mesure de l’angle inscrit ACB qui intercepte le même arc AB.
80°
A
B
C
Solution :
\[ \text{Angle inscrit} = \frac{\text{Angle au centre}}{2} = \frac{80°}{2} = 40° \]
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Exercice 2 : Double interception 🔄
Sur un cercle, deux angles inscrits ADC et AEC interceptent le même arc AC. Si ADC mesure 35°, quelle est la mesure de AEC?
Solution :
Deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure :
\[ \text{AEC} = \text{ADC} = 35° \]
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Exercice 3 : Triangle inscrit 📐
Un triangle ABC est inscrit dans un cercle avec [BC] comme diamètre. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier.
Solution :
Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un côté comme diamètre, alors c’est un triangle rectangle dont l’hypoténuse est ce diamètre.
Donc ABC est rectangle en A.
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Exercice 4 : Angle obtus ⚠️
Dans un cercle, un angle inscrit mesure 110°. Est-ce possible? Justifier votre réponse.
Solution :
Non, c’est impossible. Un angle inscrit est toujours la moitié de l’angle au centre correspondant.
L’angle au centre correspondant serait alors 220°, ce qui est impossible car un angle au centre doit être inférieur à 360°.
La mesure maximale d’un angle inscrit est donc 180° (angle plat).
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Exercice 5 : Arc intercepté 🏹
Sur un cercle, un angle inscrit intercepte un arc de 120°. Calculer la mesure de cet angle inscrit.
Solution :
\[ \text{Angle inscrit} = \frac{\text{Arc intercepté}}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \]
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Exercice 6 : Quadrilatère cyclique 🔄
Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. L’angle ABC mesure 70° et l’angle ADC mesure 110°. Ces mesures sont-elles cohérentes? Justifier.
Solution :
Oui, c’est cohérent. Dans un quadrilatère cyclique, les angles opposés sont supplémentaires :
\[ \text{ABC} + \text{ADC} = 70° + 110° = 180° \]
Cette propriété est vérifiée.
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Exercice 7 : Angle tangentiel 🎯
Une droite est tangente à un cercle en un point A. Une corde [AB] forme un angle de 50° avec cette tangente. Calculer l’angle au centre AOB.
Solution :
L’angle entre la tangente et la corde est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc :
\[ 50° = \frac{\text{AOB}}{2} \Rightarrow \text{AOB} = 100° \]
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Exercice 8 : Double angle 🔢
Dans un cercle, un angle inscrit mesure 25°. Calculer l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Solution :
\[ \text{Angle au centre} = 2 \times \text{Angle inscrit} = 2 \times 25° = 50° \]
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Exercice 9 : Cercle et médiatrice ✂️
Dans un cercle, deux cordes [AB] et [AC] ont la même longueur. Que peut-on dire des angles AOB et AOC, où O est le centre du cercle?
Solution :
Dans un cercle, des cordes de même longueur interceptent des angles au centre égaux :
\[ \text{AOB} = \text{AOC} \]
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Exercice 10 : Problème complexe 🧩
Sur un cercle de centre O, trois points A, B, C sont tels que l’angle au centre AOB mesure 100° et l’angle inscrit ACB mesure 40°. Les points A, B, C sont-ils alignés? Justifier.
Solution :
Non, ils ne sont pas alignés :
1. L’angle inscrit ACB devrait être égal à la moitié de l’angle au centre AOB :
\[ \text{ACB} = \frac{\text{AOB}}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \]
2. Or on nous dit que ACB = 40°, ce qui est contradictoire.
3. Donc les points ne peuvent pas être dans cette configuration et ne sont pas alignés.
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