Solution :
Il s’agit d’une fonction polynomiale continue en 2 :
\( \lim_{x\to 2} (3x^2 – 2x + 5) = 3×2^2 – 2×2 + 5 = 12 – 4 + 5 = 13 \)

Solution :
On factorise par le terme de plus haut degré :
\( \frac{x^2(2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(5 + \frac{2}{x} – \frac{4}{x^2})} = \frac{2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} – \frac{4}{x^2}} \)
Quand \( x\to +\infty \), les termes en \( \frac{1}{x} \) tendent vers 0 ⇒ limite = \( \frac{2}{5} \)

Solution :
Factorisation :
Numérateur : \( x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)
Dénominateur : \( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \)
Après simplification : \( \frac{x-2}{x+1} \)
\( \lim_{x\to 1} \frac{x-2}{x+1} = \frac{-1}{2} = -0.5 \)

Solution :
On multiplie par la quantité conjuguée :
\( \frac{(\sqrt{x^2+3x} – x)(\sqrt{x^2+3x} + x)}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x} \)
On factorise par x : \( \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1} \)
Quand \( x\to +\infty \), la limite vaut \( \frac{3}{2} \)

Solution :
• À droite (x > 0) : \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \) ⇒ \( \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1 \)
• À gauche (x < 0) : \( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \) ⇒ \( \lim_{x\to 0^-} f(x) = -1 \)
Les limites à gauche et droite sont différentes ⇒ pas de limite en 0.

Solution :
On sait que l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de x :
\( \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty \)
(On peut appliquer plusieurs fois la règle de l’Hôpital pour le prouver)

Solution :
On utilise la limite fondamentale \( \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \) :
\( \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} × \frac{\sin(3x)}{3x} \)
Quand \( x\to 0 \), \( 3x\to 0 \) ⇒ limite = \( \frac{3}{5} × 1 = \frac{3}{5} \)

Solution :
1. Calculons d’abord \( \lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 – \frac{2}{x}} = 1 \)
2. Par continuité du logarithme en 1 : \( \ln(1) = 0 \)
⇒ La limite cherchée est 0.

Solution :
1. En ±∞ : \( f(x) = 2x – \frac{1}{x} \) ⇒ asymptote oblique \( y = 2x \)
2. En 0 : \( \lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty \) et \( \lim_{x\to 0^-} f(x) = +\infty \)
⇒ asymptote verticale d’équation \( x = 0 \)

Solution :
1. Pour \( x \neq 2 \) : \( \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 \) ⇒ \( \lim_{x\to 2} f(x) = 4 \)
2. \( \lim_{x\to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 5 \) ⇒ discontinuité en 2