📝 10 Exercices: Généralités sur les Fonctions
2ème Bac Sciences et Technologies Elécriques STE
Exercice 1: Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition de : f(x) = √(x+2)/(x-1)
Solution :
1. √(x+2) existe ⇔ x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ -2
2. Dénominateur ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
⇒ Df = [-2, 1[ ∪ ]1, +∞[
Exercice 2: Parité
Étudier la parité de f(x) = x³ – x
Solution :
f(-x) = (-x)³ – (-x) = -x³ + x = -(x³ – x) = -f(x)
⇒ f est impaire
Exercice 3: Variation
Montrer que f(x) = 2x + 1 est strictement croissante sur ℝ
Solution :
Soit a < b :
f(b) – f(a) = (2b + 1) – (2a + 1) = 2(b – a) > 0
⇒ f est strictement croissante
Exercice 4: Extremums
Trouver les extremums de f(x) = x² – 4x + 3 sur ℝ
Solution :
f'(x) = 2x – 4
f'(x) = 0 ⇔ x = 2
f”(x) = 2 > 0 ⇒ minimum en x=2
f(2) = -1
Exercice 5: Composition
Soit f(x) = √x et g(x) = x² + 1. Trouver f∘g et son domaine
Solution :
f∘g(x) = √(x² + 1)
x² + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ ⇒ D = ℝ
Exercice 6: Image directe
Soit f(x) = 2x – 3. Déterminer f([-1, 2])
Solution :
f(-1) = -5
f(2) = 1
f croissante ⇒ f([-1,2]) = [-5,1]
Exercice 7: Bijectivité
Montrer que f: ℝ→ℝ, f(x) = 3x – 2 est bijective
Solution :
1. Injective: f(a)=f(b) ⇒ 3a-2=3b-2 ⇒ a=b
2. Surjective: ∀y ∈ ℝ, ∃x=(y+2)/3 tel que f(x)=y
⇒ f est bijective
Exercice 8: Périodicité
Montrer que f(x) = sin(2x) est périodique et trouver sa période
Solution :
sin(2(x+π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x)
⇒ Période T = π (la plus petite période)
Exercice 9: Comparaison
Comparer f(x) = x² et g(x) = x sur [0,1]
Solution :
• Sur [0,1]: x² ≤ x car x(1-x) ≥ 0
• En x=0: 0=0 et x=1: 1=1
• f(x)=g(x) ⇔ x=0 ou x=1
Exercice 10: Problème synthèse
Soit f(x) = (x-1)/(x+1). Déterminer Df, parité, variations sur ]-1,+∞[
Solution :
1. Domaine: x ≠ -1 ⇒ Df = ℝ \ {-1}
2. Parité: f(-x) = (-x-1)/(-x+1) ≠ ±f(x) ⇒ ni paire ni impaire
3. Variations: f'(x) = 2/(x+1)² > 0 ⇒ strictement croissante
