📍 Exercices : Repère dans le Plan
3ème Année Collège
Exercice 1 : Lecture de coordonnées 📍
Placer les points suivants dans un repère orthonormé : A(2;3), B(-1;4), C(0;-2), D(-3;-1). Quel est le point le plus à gauche? Le plus en bas?
Solution :
Le point le plus à gauche est D(-3;-1) (abscisse la plus petite)
Le point le plus en bas est C(0;-2) (ordonnée la plus petite)
Exercice 2 : Distance entre deux points 📏
Calculer la distance entre les points A(1;2) et B(4;6).
Solution :
\[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Exercice 3 : Milieu d’un segment ➗
Trouver les coordonnées du milieu I du segment [AB] avec A(-3;5) et B(7;1).
Solution :
\[ x_I = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \]
\[ y_I = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
Donc I(2;3)
Exercice 4 : Nature d’un triangle 🔺
Les points A(1;1), B(4;1) et C(1;5) forment-ils un triangle rectangle? Justifier.
Solution :
\[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = 3 \]
\[ AC = \sqrt{(1-1)^2 + (5-1)^2} = 4 \]
\[ BC = \sqrt{(1-4)^2 + (5-1)^2} = 5 \]
On vérifie 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25) donc triangle rectangle en A.
Exercice 5 : Alignement de points ↔️
Les points A(2;3), B(5;7) et C(8;11) sont-ils alignés? Justifier.
Solution :
Calcul des coefficients directeurs :
\[ a_{AB} = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3} \]
\[ a_{AC} = \frac{11-3}{8-2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
Même coefficient directeur donc points alignés.
Exercice 6 : Symétrie centrale 🔄
Soit le point A(4;-2). Donner les coordonnées de A’ symétrique de A par rapport à l’origine du repère.
Solution :
Symétrie centrale par rapport à O(0;0) :
\[ A'(-4;2) \]
Exercice 7 : Parallélogramme ⏹️
Les points A(1;1), B(5;2), C(6;5) et D(2;4) forment-ils un parallélogramme? Justifier.
Solution :
Calcul des milieux des diagonales :
\[ \text{Milieu de [AC]} = \left(\frac{1+6}{2}; \frac{1+5}{2}\right) = (3.5;3) \]
\[ \text{Milieu de [BD]} = \left(\frac{5+2}{2}; \frac{2+4}{2}\right) = (3.5;3) \]
Même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
Exercice 8 : Translation ➡️
On translate le point A(3;-1) par le vecteur (4;-3). Quelles sont les nouvelles coordonnées de A?
Solution :
\[ A'(3+4; -1-3) = A'(7;-4) \]
Exercice 9 : Équation de droite 📈
Déterminer l’équation de la droite passant par A(1;3) et B(3;7).
Solution :
Calcul du coefficient directeur :
\[ a = \frac{7-3}{3-1} = 2 \]
Équation : y = 2x + b
On trouve b avec le point A : 3 = 2×1 + b ⇒ b = 1
Donc y = 2x + 1
Exercice 10 : Problème complexe 🧩
Dans un repère, on donne A(1;2), B(4;5) et C tel que ABC soit un triangle rectangle isocèle en A. Trouver les coordonnées possibles de C.
Solution :
1. AB = √[(4-1)²+(5-2)²] = √18 = 3√2
2. Comme ABC est rectangle isocèle en A, AC = AB = 3√2 et (AB)⊥(AC)
3. Deux possibilités :
• Rotation de 90° du vecteur AB : (3;3) → (-3;3)
Donc C(1-3;2+3) = (-2;5)
• Rotation de -90° du vecteur AB : (3;3) → (3;-3)
Donc C(1+3;2-3) = (4;-1)
