↗️ Exercices : Vecteurs et Translations
2ème Année Collège
📍 Exercice 1 : Représentation graphique
Représenter le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) où A(2;3) et B(5;7). Calculer ses composantes.
Solution :
\[ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5-2 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
🧭 Exercice 2 : Norme d’un vecteur
Calculer la norme du vecteur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\).
Solution :
\[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
🔄 Exercice 3 : Translation
Soit la translation de vecteur \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Déterminer l’image du point C(4;5) par cette translation.
Solution :
\[ C'(x’+2; y’-3) \Rightarrow C'(4+2; 5-3) = C'(6;2) \]
📐 Exercice 4 : Égalité vectorielle
Déterminer x et y tels que : \(\begin{pmatrix} x-2 \\ y+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Solution :
\[ \begin{cases}
x – 2 = 4 \\
y + 3 = 1
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x = 6 \\
y = -2
\end{cases} \]
🧩 Exercice 5 : Relation de Chasles
Simplifier : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\)
Solution :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \]
🖼️ Exercice 6 : Figure géométrique
ABCD est un parallélogramme. Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
Solution :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \]
📏 Exercice 7 : Vecteurs colinéaires
Les vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?
Solution :
\[ \frac{6}{2} = 3 \quad \text{et} \quad \frac{9}{3} = 3 \]
Les rapports sont égaux donc les vecteurs sont colinéaires (\(\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u}\)).
🔄 Exercice 8 : Translation de figure
Soit un triangle ABC et la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Construire l’image A’B’C’ du triangle.
Solution :
Chaque point est déplacé de +3 en abscisse et -2 en ordonnée.
📌 Exercice 9 : Milieu et vecteurs
I est le milieu de [AB]. Exprimer \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
Solution :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \]
🧮 Exercice 10 : Problème synthèse
Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Calculer les composantes de \(2\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v}\).
Solution :
\[ 2\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2×1 \\ 2×2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ 2\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \]
